Succession d'épreuves indépendantes

Définition

Une expérience est constituée de deux épreuves successives indépendantes si le résultat de la première épreuve n'a pas d'influence sur le résultat de la deuxième.

Exemple

Une urne contient dix boules indiscernables au toucher : quatre boules rouges numérotées 1 ; 1 ; 1 ; 3 et six boules vertes numérotées 3 ; 3 ; 4 ; 5 ; 5 ; 6.

On tirage au hasard successivement et avec remise deux boules de cette urne.

En raison de l'hypothèse « avec remise », le résultat du premier tirage n'influence pas le résultat du deuxième donc ces deux tirages constituent deux épreuves successives indépendantes.

On note :

• \(A\) l'événement : « La boule tirée au premier tirage porte le numéro 3 » ;
• \(B\)  l'événement : « La boule tirée au deuxième tirage est verte ».

Sur les dix boules de l'urne, trois boules portent le numéro « 3 » et six boules sont vertes donc \(P(A)=\dfrac{3}{10}=0{,}3\) et \(P(B)=\dfrac{6}{10}=0{,}6\) .

On peut représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré :

Dans ce cas, \(P_A(B)=P(B)\) et les événements \(A\) et \(B\) sont indépendants.

Les propriétés des arbres pondérés restent vraies et on a par exemple: \(P(A \cap B)=P(A) \times P(B)=0{,}3 \times 0{,}6=0{,}18\) .